Question

已知三棱錐P-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，則該三棱錐的外接球面上，P、A兩點(diǎn)的球面距離是（　�。�

• A、

  4 3 π

  9

• B、

  8 3 π

  9

• C、

  16 3 π

  9

• D、

  32 3 π

  9

Answer 1

分析：先說明P在底面上的射影是AB的中點(diǎn)，也是底面外接圓的圓心，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．

解答：解：由題意，點(diǎn)P在底面上的射影D是AB的中點(diǎn)，是三角形ABC的外心，令球心為O，如圖在直角三角形ODC中，
由于AD=1，PD=

4-1

=

3

，則 (

3

-R)2+1=R2
 解得R=

2

3

，
∴cos∠POC=

4 3 + 4 3 -4

2× 2 3 × 2 3

=-

1

2

∴∠POC=

2π

3

∴P、A兩點(diǎn)的球面距離是

2π

3

×

2

3

=

4 3 π

9

故選A

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接體，球面距離及相關(guān)計(jì)算，考查計(jì)算能力，空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．