Question

（本小題滿分14分） 已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)與的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求的取值范圍；（3）在（Ⅱ）的條件下，過(guò)線段MN的中點(diǎn)作軸的垂線分別與的圖像和的圖像交S、T點(diǎn)，以S為切點(diǎn)作的切線，以T為切點(diǎn)作的切線．是否存在實(shí)數(shù)使得，如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）不存在實(shí)數(shù)

解析:

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)，則有  ①

又在點(diǎn)P有共同的切線∴代入①得設(shè)所以函數(shù)最多只有1個(gè)零點(diǎn)，觀察得是零點(diǎn)，∴，此時(shí)…5分

（Ⅱ）方法1 由

令

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，且

所以在處取到最大值，

所以要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有   10分

方法2 根據(jù)（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，兩曲線切于點(diǎn)，此時(shí)變化的的對(duì)稱軸是，而是固定不動(dòng)的，如果繼續(xù)讓對(duì)稱軸向右移動(dòng)即，兩曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合，所以.

（Ⅲ）不妨設(shè)，且，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為

      以S為切點(diǎn)的切線的斜率

     以T為切點(diǎn)的切線的斜率

如果存在使得，即          ①

      而且有和

     如果將①的兩邊同乘得

   即  設(shè)，則有

   令 

∵，∴因此在上單調(diào)遞增，故

所以不存在實(shí)數(shù)使得．…………… 14分