Question

已知|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61．
（1）求

a

與

b

的夾角θ；
（2）若

c

=t

a

+(1-t)

b

，且

b

•

c

=0，求t及|

c

|

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算對(duì)條件展開(kāi)運(yùn)算即可求得向量夾角；
（2）根據(jù)

b

•

c

=0建立等式，可求出t的值，然后根據(jù)模的定義可求出|

c

|的值．

解答：解 （1）∵|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61，
∴

a

•

b

=-6．---------------（3分）
∴cos θ=

a • b

| a || b |

=

-6

4×3

=-

1

2

，-------------------------------（5分）
又0≤θ≤π，∴θ=

2π

3

．-------------------------------------（7分）
（2）

b

•

c

=

b

（t

a

+(1-t)

b

）=t

a

•

b

+（1-t）

b

2=-15t+9=0
∴t=

3

5

--------------------（10分）
∴|

c

|²=（

3

5

a

+

2

5

b

）²=

108

25

，∴|

c

|=

6 3

5

-----------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算、及向量夾角的求解，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬基礎(chǔ)題．