Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F．
（Ⅰ）若傾斜角為

π

3

的直線AB過點(diǎn)F且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|；
（Ⅱ）若過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（I）由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），由直線的斜角為

π

3

可知直線AB的斜率為

3

∴直線AB的方程為y=

3

(x-1)
聯(lián)立方程

y= 3 (x-1) y2=4x

可得，3x²-10x+3=0
解可得，x₁=3或x2=

1

3

由拋物線的定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+1+x₂+1=

16

3

（II）設(shè)過點(diǎn)F的直線AB得方程為x=ky+1，線段AB中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

x=ky+1 y2=4x

可得y²-4ky-4=0
∴y₁+y₂=4k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=4k²+2
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，x=

x1+x2

2

=1+2k²，y=

y1+y2

2

=2k
消去k可得點(diǎn)M的軌跡方程，y²=2（x-1）