Question

（2006•豐臺(tái)區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2^|x|-2，則f（x）是

偶

（填“奇”或“偶”）函數(shù)，不等式x[f（x）+f（-x）]＞0的解集是

{x|x＞1或-1＜x＜0}

．

Answer 1

分析：由題意可得f（-x）=f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以x[f（x）+f（-x）]=2xf（x）＞0，即xf（x）＞0，因?yàn)楹瘮?shù)的解析式中含有絕對(duì)值所以分別討論x≥0與x＜0兩種情況，進(jìn)而得到答案．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2^|x|-2，
所以f（-x）=f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
所以x[f（x）+f（-x）]=2xf（x）＞0，即xf（x）＞0，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2^|x|-2，
所以當(dāng)x≥0時(shí)不等式xf（x）＞0等價(jià)于2^|x|-2＞0，所以原不等式的解集為{x|x＞1}，
當(dāng)x＜0時(shí)不等式xf（x）＞0等價(jià)于2^|x|-2＜0，所以原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}．
故答案為偶，{x|x＞1或-1＜x＜0}．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的奇偶性的判斷，以及掌握含絕對(duì)值不等式的解法．