Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC，側(cè)棱BB₁與底面ABC所成的角為60°．
（Ⅰ）求直線A₁C與底面ABC所成的角；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在點(diǎn)P，使得平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁？若存在，求出C₁P的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過(guò)B₁作B₁O⊥BC于O，證明B₁O⊥平面ABC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出A，B，C，A₁，B₁，C₁坐標(biāo)，底面ABC的法向量

n

=(0， 0， 1)，設(shè)直線A₁C與底面ABC所成的角為θ，通過(guò)sinθ=|

CA1 • n

| CA1 |•| n |

|=

2

2

，求出直線A₁C與底面ABC所成的角．
（Ⅱ）假設(shè)在線段A₁C₁上存在點(diǎn)P，設(shè)

C1P

=λ

C1A1

，通過(guò)

m • B1C =0 m • CP =0

求出平面B₁CP的法向量

m

=(x，y，z)，利用

n • AC =0 n • C1C =0

求出平面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，通過(guò)

m

•

n

=0，求出．λ=

2

3

．求解C1P=

4

3

．

解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）過(guò)B₁作B₁O⊥BC于O，
∵側(cè)面BCC₁B₁⊥平面ABC，
∴B₁O⊥平面ABC，
∴∠B₁BC=60°．
又∵BCC₁B₁是菱形，∴O為BC的中點(diǎn)．…（2分）
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(-

3

，0，0)，B（0，-1，0），C（0，1，0），A1(-

3

，1，

3

)，B1(0，0，

3

)，C1(0，2，

3

)
∴

CA1

=(-

3

，0，

3

)，又底面ABC的法向量

n

=(0， 0， 1)…（4分）
設(shè)直線A₁C與底面ABC所成的角為θ，
則sinθ=|

CA1 • n

| CA1 |•| n |

|=

2

2

，∴θ=45°
所以，直線A₁C與底面ABC所成的角為45°．                     …（7分）
（Ⅱ）假設(shè)在線段A₁C₁上存在點(diǎn)P，設(shè)

C1P

=λ

C1A1

，
則

C1P

=λ(-

3

，-1，0)，

CP

=

CC1

+

C1P

=(-

3

λ，1-λ，

3

)，

B1C

=(0，1，-

3

)．…（8分）
設(shè)平面B₁CP的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • B1C =y- 3 z=0 m • CP =- 3 λx+(1-λ)y+ 3 z=0

．
令z=1，則y=

3

，x=

2-λ

λ

，∴

m

=(

2-λ

λ

，

3

，1)．         …（10分）
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AC = 3 x+y=0 n • C1C =-y- 3 z=0

令z=1，則y=-

3

，x=1，∴

n

=(1，-

3

，1)．           …（12分）
要使平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁，
則

m

•

n

=(

2-λ

λ

，

3

，1)•(1，-

3

，1)=

2-λ

λ

-2=0．
∴λ=

2

3

．∴C1P=

4

3

．                             …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直，直線與平面所成的角，平面與平面垂直，考查空間想象能力，計(jì)算能力．