Question

已知直線l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0及點(diǎn)P（3，4）．
（1）證明直線l過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l方程化成a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0，再聯(lián)解關(guān)于x、y的方程組

2x+y+1=0 x+y-1=0

，即可得到直線l經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過的定點(diǎn)為A，由平面幾何知識，得到當(dāng)PA⊥l時，點(diǎn)P到直線l的距離最大．因此算出直線PA的斜率，再利用垂直直線斜率的關(guān)系算出直線l的斜率，即可求出此時直線l的方程．

解答：解：（1）直線l方程可化為：a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0
由

2x+y+1=0 x+y-1=0

，解得x=-2且y=3，
∴直線恒l過定點(diǎn)A，其坐標(biāo)為（-2，3）．
（2）∵直線恒l過定點(diǎn)A（-2，3）
∴當(dāng)點(diǎn)P在直線l上的射影點(diǎn)恰好是A時，
即PA⊥l時，點(diǎn)P到直線l的距離最大
∵PA的斜率k_PA=

4-3

3+2

=

1

5

∴直線l的斜率k=

-1

kPA

=-5
由此可得點(diǎn)P到直線l的距離最大時，
直線l的方程為y-3=-5（x+2），即5x+y+7=0．

點(diǎn)評：本題給出直線經(jīng)過定點(diǎn)，求直線外一點(diǎn)P到直線的距離最大時直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、點(diǎn)到直線的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．