Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 時(shí)，增區(qū)間是,無減區(qū)間；時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是；(2)1個(gè)．

【解析】

試題分析：(1)首先求得函數(shù)的定義與導(dǎo)函數(shù)，然后分、討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)首先將問題為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后分、、、求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而使問題得解．

試題解析：(1) 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí)，，所以 的增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是,無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是.

(2)令，問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

①當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，.

②當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以為減函數(shù)．注意到,所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)，或時(shí)，時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

注意到，

所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，，或時(shí)，時(shí)，，

所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

注意到，

所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn).

綜上，有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn).