Question

已知向量

a

、

b

不共線，若

AB

=λ1

a

+

b

，

AC

=

a

+λ2

b

，且A、B、C三點共線，則關(guān)于實數(shù)λ₁、λ₂一定成立的關(guān)系式為（　　）

• A、λ₁=λ₂=1
• B、λ₁=λ₂=-1
• C、λ₁λ₂=1
• D、λ₁+λ₂=1

Answer 1

分析：先求A、B、C三點共線的充要條件，我們要先根據(jù)已知條件a、b是不共線的向量

AB

=λ1

a

+

b

，

AC

=

a

+λ2

b

，判斷λ與μ滿足的關(guān)系；并以此關(guān)系為已知條件，看能不能反推回來得到A、B、C三點共線．如果兩個過程都是可以的，該關(guān)系式即為所求．

解答：解：由于

AB

，

AC

有公共點A，
∴若A、B、C三點共線
則

AB

與

AC

共線
即存在一個實數(shù)t，使

AB

=t

AC

即

λ 1=at 1=λ 2t

消去參數(shù)t得：λ₁λ₂=1；
反之，當(dāng)λ₁λ₂=1時

AB

=λ 1a+b
此時存在實數(shù)

1

λ 1

使

AB

=

1

λ 1

AC

故

AB

與

AC

共線
又由

AB

，

AC

有公共點A，
∴A、B、C三點共線
故A、B、C三點共線的充要條件是λ₁λ₂=1．
故選C．

點評：判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．