Question

在經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展過(guò)程中．乙工廠（以下簡(jiǎn)稱(chēng)乙方）生產(chǎn)須占用甲農(nóng)場(chǎng)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)甲方）的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定的凈收入．已知在不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x（元）與年產(chǎn)t（噸）滿(mǎn)足函教關(guān)系x=2000

t

．甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002t²（元），且乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下s為賠付價(jià)格）．
（1）求乙方獲得最大利潤(rùn)時(shí)的年產(chǎn)t（噸）與賠付價(jià)格s（元）滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）若在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中賠付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為w=2000

t

-st．利用導(dǎo)數(shù)法易求出乙方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量，從而得出乙方獲得最大利潤(rùn)時(shí)的年產(chǎn)t（噸）與賠付價(jià)格s（元）滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）由已知得，若甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．再由x=2000

t

．可以得到甲方凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出答案．

解答：解：（1）因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為w=2000

t

-st．
由w′=

1000

t

-s=

1000-s t

t

，
令w'=0，得t=t₀=（

1000

s

）²．
當(dāng)t＜t₀時(shí)，w'＞0；當(dāng)t＞t₀時(shí)，w'＜0，
所以t=t₀時(shí)，w取得最大值．
因此乙方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量t₀為（

1000

s

）²（噸）；
∴乙方獲得最大利潤(rùn)時(shí)的年產(chǎn)t（噸）與賠付價(jià)格s（元）滿(mǎn)足的關(guān)系式t=（

1000

s

）²（噸）；
（2）設(shè)甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．
將t=（

1000

s

）²代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式v=

106

s

-

2

s4

×109．
又v′=

106×(8000-s3)

s5

，
令v'=0，得s=20．
當(dāng)s＜20時(shí)，v'＞0；當(dāng)s＞20時(shí)，v'＜0，
所以s=20時(shí)，v取得最大值．
因此甲方應(yīng)向乙方要求賠付價(jià)格s=20（元/噸）時(shí)，獲最大凈收入．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑�(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．