Question

正三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，已知AB=2

3

，PA=4，則此球的表面積等于

64π

3

．

Answer 1

分析：設(shè)P-ABC的外接球心為O，則O在高PH上，延長AH交BC于D點，則D為BC中點，連接OA．等邊三角形ABC中，求出AH=

3

3

AB=2，然后在Rt△PAH中，利用勾股定理求出PH=2

3

，最后在Rt△AOH中，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于外接球半徑R的方程并解之得R=

4 3

3

，用球的表面積公式可得P-ABC的外接球的表面積．

解答：解：設(shè)P-ABC的外接球球心為O，則O在高PH上，延長AH交BC于D點，則D為BC中點，連接OA，
∵等邊三角形ABC中，H為中心
∴AH=

2

3

AD=

2

3

•

3

2

AB=

3

3

•2

3

=2
∴Rt△PAH中，PH=

PA2-AH2

=2

3

設(shè)外接球半徑OA=R，則OH=2

3

-R
在Rt△AOH中，根據(jù)勾股定理得：OH²+AH²=OA²，即（2

3

-R）²+2²=R²，解之得R=

4 3

3

∴P-ABC的外接球的表面積為：S=4πR²=

64π

3

故答案為：

64π

3

點評：本題給出正三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長，求它的外接球表面積，著重考查了正三棱錐的性質(zhì)和球內(nèi)接多面體等知識，屬于中檔題．