Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分別為PC、CD的中點．
（Ⅰ）試證：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）設(shè)PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于45°，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AB⊥平面BEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與平面BEF內(nèi)兩相交直線垂直，而AB⊥BF．
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知AB⊥EF，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）以A為原點，以AB、AD、AP為OX、OY、OZ正向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB的長為1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夾角公式建立關(guān)系，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且∠DAB為直角，
故ABFD是矩形，從而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因為AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF． （6分）

（Ⅱ）以A為原點，以AB、AD、AP為OX、OY、OZ正向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB的長為1，則

BD

=（-1，2，0），

BE

=（0，1

k

2

）
設(shè)平面CDB的法向量為

.

m1

=(0，0，1)，平面EDB的法向量為

.

m2

=(x，y，z)，
則

. m2 • . BD =0 . m2 • . BE =0

∴

-x+2y=0 y+ kz 2 =0

，取y=1，可得m2=(2，1，-

2

k

)
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，
則cosθ=|cos＜m₁，m₂＞|═

2 k

22+1+ 4 k2

＜

2

2

化簡得k2＞

4

5

，則k＞

2 5

5

．（12分）

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．