Question

已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過點(diǎn)F₂的動(dòng)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，
（Ⅰ）若動(dòng)點(diǎn)M滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：由條件知，設(shè)，
（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則，，
由得，
于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，，
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，
兩式相減得，
將，代入上式，化簡得；
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，求得M(8，0)，也滿足上述方程；
故點(diǎn)M的軌跡方程是；
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C(m，0)，使為常數(shù)。
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是，
代入，
則x₁、x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，
于是

，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120202/20120202141728173944.gif">是與k無關(guān)的常數(shù)，所以4-4m=0即m=1，此時(shí)；
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可別設(shè)為，
此時(shí)；
故在x軸上存在定點(diǎn)C（1，0），使為常數(shù)。