Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）當(dāng)m=2時(shí)，求f（x）的解析式；
（II）設(shè)曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率為k，且對(duì)于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
當(dāng)x＜0時(shí)，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴．
當(dāng)m=2時(shí)，∴
（Ⅱ）由（I）得：∴
曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率，對(duì)任意的x₀∈[-1，1]，總能不小于-1且不大于9，
則在任意x₀∈[-1，1]時(shí)，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函數(shù)
∴對(duì)任意x₀∈（0，1]時(shí)，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰當(dāng)時(shí)，由題意得
∴0≤m≤2
2⁰當(dāng)時(shí)
∴
∴-6≤m＜0
3⁰當(dāng)時(shí)∴
∴-8≤m＜-6
綜上：-8≤m≤2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-8≤m≤2}．
分析：（I）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)x＜0，則-x＞0應(yīng)用f（x）=2x³+mx²+（1-m）x求解，再由f（0）=0得解．
（Ⅱ）因?yàn)榍�線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率為k所以由（I）求導(dǎo)
再由對(duì)任意的x₀∈[-1，1]，總能-1≤k≤9，則在任意x₀∈[-1，1]時(shí)，-1≤f'（x）≤9恒成立，又因?yàn)閒'（x）是偶函數(shù)∴對(duì)任意x₀∈（0，1]時(shí)，-1≤f'（x₀）≤9恒成立即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用奇偶性求對(duì)稱區(qū)間上的解析式和二次函數(shù)研究最值解決恒成立問題．