Question

已知函數(shù)f(x)=㏑x-ax²+bx(a>0)且導(dǎo)數(shù)f‵(x)=0.
（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于函數(shù)圖象上不同的兩點A(x₁,y₁)，且x₁<x₂，如果在函數(shù)圖像上存在點M(x₀,y₀)（其中x₀∈(x₁,x₂)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“相依切線”.特別地，當(dāng)時，又稱AB存在“中值相依切線”.試問：在函數(shù)f(x)上是否存在兩點A,B使得它存在“中值相依切線”？若存在，求A,B的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：
（1）f‵(x)=-ax+b，f‵(x)=0，∴b=a-1，
f‵(x)==0 ，x₁=-（舍去），x₂=1，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)。
（2） 假設(shè)存在點M滿足條件,則f‵(x₀)=,整理得:=,
令=t∈(0,1),則問題轉(zhuǎn)化為方程:㏑t=有根,
設(shè)g(t)=㏑t-,g‵(t)=>0,
∴函數(shù)g(t)為(0,1)上的單調(diào)遞增函數(shù),且g(1)=㏑1-0=0,∴g(t)<0,
所以不存在t使方程㏑t=成立,即不存在點滿足題意。