Question

（本小題滿分14分）
已知圓：，點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)分別是曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第三象限，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；
（Ⅲ）過點(diǎn)，且斜率為的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

                        解: （Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/30/d/m6g5g.gif" style="vertical-align:middle;" />的垂直平分線交 于點(diǎn)．所以

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓……………2分
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……4分
（Ⅱ）設(shè)，則    ①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/24/4/vmc94.gif" style="vertical-align:middle;" />
則    ②
由①②解得……………7分
所以直線的斜率……………8分
（Ⅲ）直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得:
  得…………9分
由題意知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓必交與兩點(diǎn)，
設(shè)則
假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，滿足題設(shè)，則
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/71/a/cucpu4.gif" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓恒過點(diǎn),
則，即: （*）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1a/5/fu0042.gif" style="vertical-align:middle;" />
則（*）變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/87/6/fpzz01.gif" style="vertical-align:middle;" />…………11分




由假設(shè)得對(duì)于任意的,恒成立，
即解得……13分
因此，在軸上存在滿足條件的定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………14分

解析