Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)與焦距相等，且過(guò)定點(diǎn)(1，

2

2

)，傾斜角為

π

4

的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（Ⅲ）求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）把點(diǎn)(1，

2

2

)代入橢圓方程，及其2b=2c，a²=b²+c²即可得出．
（II）把直線l的 方程與橢圓的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，利用△＞0即可．
（III）利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長(zhǎng)公式即可得到|AB|，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段的垂直平分線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式可得點(diǎn)P到直線AB的距離，進(jìn)而得到面積，

解答：解：（I）由題意可得

2b=2c 1 a2 + 1 2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）設(shè)直線l的方程為：y=x+m．
聯(lián)立

y=x+m x2 2 +y2=1

，消去y得到3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-24（m²-1）＞0，得m²＜3，即-

3

＜m＜

3

．
∴直線l在y軸上的取值范圍是(-

3

，

3

)．
（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．AB中點(diǎn)Q（x₀，y₀）．
則x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

3

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

2m

3

，y0=

y1+y2

2

=

m

3

．
∴Q(-

2m

3

，

m

3

)．
∴AB的垂直平分線的方程為：y-

m

3

=-(x+

2m

3

)．
令y=0，得x=-

m

3

．即P(-

m

3

，0)．
點(diǎn)P到直線AB的距離d=|PQ|=

(- m 3 + 2m 3 )2+(0- m 3 )2

=

2 |m|

3

．
又|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2

(- 4m 3 )2-4× 2m2-2 3

=

4

3

3-m2

．
∴S△ABP=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

4

3

3-m2

×

2 |m|

3

=

2 2

9

3m2-m4

=

2 2

9

-(m2- 3 2 )2+ 9 4

．
∵m²＜3，∴當(dāng)且僅當(dāng)m2=

3

2

時(shí)，△ABP面積取得最大值

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、線段的垂直平分線、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．