Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，則當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求出函數(shù)的解析式，再對其求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求解；

（2）先通過分類討論去掉絕對值，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，則問題獲解．

解：（1）由題意得，，

所以．

所以或時，恒成立，

即當時，恒成立，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．

當時，令，得，

令，得或，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當時，）的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）當時，恒成立，

等價于當時，恒成立．

由得．

令．

①若

在上單調(diào)遞減，

所以，所以，

則，與矛盾，故此時不存在．

②若，

當時，，

在上單調(diào)遞減，

所以，此時，符合題意．

當時，．

令得．

令，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

所以當時，，所以．

所以則在上單調(diào)遞增，

所以，

所以，

即．

又，

所以．

綜上，實數(shù)的取值范圍為．