Question

已知：橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為8，且經(jīng)過點(diǎn)（0，3）
（1）求此橢圓的方程
（2）若已知直線l：4x-5y+40=0，問：橢圓C上是否存在一點(diǎn)，使它到直線l的距離最小？最小距離是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可知c，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)（0，3）求得b，進(jìn)而根據(jù)a²=b²+c²求得a²，則橢圓方程可得；
（2）由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交，將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，則可知切線與直線l的距離最小或最大，故設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式為0可求．
解答：解：（1）由題意知，2c=8，c=4，
∴b=3，
從而a²=b²+c²=25，
∴方程是…（4分）
（2）由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交
設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0（1）
由方程組
消去y，得25x²+8kx+k²-225=0（2）
令方程（2）的根的判別式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0（3）
解方程（3）得k₁=25或k₂=-25，
∴當(dāng)k₁=25時(shí)，直線m與橢圓交點(diǎn)到直線l的距離最近，此時(shí)直線m的方程為4x-5y+25=0
直線m與直線l間的距離
所以，最小距離是．…（8分）
點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)線距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，則可知切線與直線l的距離最小或最大．