Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，已知a₁=1，n•a_n+1=（n+2）S_n（n=1，2，3…）．
（1）證明數(shù)列{

Sn

n

}是公比為2的等比數(shù)列；
（2）求S_n關(guān)于n的表達(dá)式．
（3）請(qǐng)猜測(cè)是否存在自然數(shù)N₀，對(duì)于所有的n＞N₀有S_n＞2007恒成立，并證明．

Answer 1

分析：（1）把n•a_n+1=（n+2）S_n代入a_n+1=S_n+1-S_n中化簡(jiǎn)整理得

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

．進(jìn)而可推斷數(shù)列{

Sn

n

}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）根據(jù)又

S1

1

求的首項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求的數(shù)列{

Sn

n

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求的S_n關(guān)于n的表達(dá)式．
（3）把（2）中求的S_n關(guān)于n的表達(dá)式代入

Sn+1

Sn

中，結(jié)果大于1，進(jìn)而可判斷{S_n}為遞增數(shù)列，進(jìn)而可知存在N₀=8，對(duì)所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立．

解答：解：（1）證明：∵a_n+1=S_n+1-S_n，
由已知a_n+1=

n+2

n

S_n，∴

n+2

n

S_n=S_n+1-S_n，
（n+2）S_n=nS_n+1-nS_n，2（n+1）S_n=nS_n+1，

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

．又

S1

1

=

a1

1

=1，
∴{

Sn

n

}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
（2）∵

Sn

n

=1•2^n-1=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1．
（3）猜測(cè)：存在N₀=8，當(dāng)n＞8時(shí)有S_n＞2007恒成立
∵

Sn+1

Sn

=

(n+1)•2n

n•2n-1

=

2(n+1)

n

＞1，
∴{S_n}為遞增數(shù)列，
∴存在N₀=8，對(duì)所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列與不等式問(wèn)題的綜合考查．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式、對(duì)數(shù)等問(wèn)題的綜合考查是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題．