Question

若為常數(shù)，且。

（Ⅰ）求對(duì)所有的實(shí)數(shù)成立的充要條件（用表示）；

（Ⅱ）設(shè)為兩實(shí)數(shù)，且，若，求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）證明見解析。

解析:

本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值、不等式的綜合運(yùn)用。

（I）恒成立

若，則，顯然成立；若，記

當(dāng)時(shí)，，

所以，故只需；

當(dāng)時(shí)，，

所以，故只需。

（II）如果，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

因?yàn)?img width=83 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/110/161310.gif">，所以區(qū)間關(guān)于直線對(duì)稱。

因?yàn)闇p區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為。

如果，結(jié)論的直觀性很強(qiáng)。