Question

若對(duì)任意長(zhǎng)方體A，都存在一個(gè)與A等高的長(zhǎng)方體B，使得B與A的側(cè)面積之比和體積之比都等于常數(shù)K，則K的取值范圍是（　�。�

• A．（0，1]
• B．（0，

  1

  2

  ]
• C．[1，+∞）
• D．[

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先畫出圖形，根據(jù)已知條件分別表示出其側(cè)面積之比與體積之比，進(jìn)而利用基本不等式的性質(zhì)即可得出答案．

解答：解：如圖所示的兩個(gè)長(zhǎng)方體A與B：
設(shè)A、B兩個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：1、x、y，1、a、b．
則S_A側(cè)=2（x+y），V_A=xy；S_B側(cè)=2（a+b），V_B=ab．
由題意B與A的側(cè)面積之比和體積之比都等于常數(shù)K，
∴

a+b

x+y

=k，

ab

xy

=k．
由a+b=k（x+y）≥2

ab

=2

kxy

，
∴k²（x+y）²≥4kxy，∴k≥

4xy

(x+y)2

恒成立．
而

4xy

(x+y)2

≤

4xy

4xy

=1，故k≥1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：正確表示出側(cè)面積之比與體積之比及熟練應(yīng)用基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．