Question

設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點(diǎn), 到直線的距離為,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),若, 求的取值范圍；
（3）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

（1）；（2）或； （3）滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或.

試題分析：（1）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中
由題意得的方程為:
根據(jù)到直線的距離為,可求得，
將與聯(lián)立即可得到.
（2）設(shè),，由可得，代人橢圓的方程得，即可解得或.
（3）由, 設(shè)，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為，代入橢圓的方程,整理得:
由韋達(dá)定理得,則,
得到線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.注意討論，的情況，確定的表達(dá)式，求得實(shí)數(shù)的值.
方法比較明確，運(yùn)算繁瑣些；分類討論是易錯(cuò)之處.
試題解析：（1）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中
由題意得的方程為:
因到直線的距離為,所以有,解得     2分
所以有 ①
由題意知: ,即 ②
聯(lián)立①②解得:
所求橢圓的方程為     4分
（2）由(1)知橢圓的方程為 
設(shè),，由于,所以有
      7分
又是橢圓上的一點(diǎn),則
所以
解得：或                  9分
（3）由, 設(shè)
根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達(dá)定理得,則,
所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
(1)當(dāng)時(shí), 則有,線段垂直平分線為軸
于是
由,解得:      11分
(2) 當(dāng)時(shí), 則線段垂直平分線的方程為
因?yàn)辄c(diǎn)是線段垂直平分線的一點(diǎn)
令,得:
于是
由,解得:
代入,解得:
綜上, 滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或.       14分