Question

已知函數(shù)f(x)=3^x，其反函數(shù)為f^-1(x)，且f^-1(18)=a+2,g(x)=3^ax-4^x的定義域?yàn)椋?，1］.

（1）求g(x)的解析式；

（2）判斷g(x)的單調(diào)性；

（3）求g(x)的值域.

Answer 1

解：（1）∵f(x)=3^x,

∴f^-1(x)=log₃x.

又∵f^-1(18)=a+2,

即log₃18=2+log₃2=a+2,

∴a=log₃2.

則g(x)=-4^x=2^x-4^x.

（2）∵g(x)=2^x-4^x=2^x-(2^x)²=-(2^x-)²+,

又x∈［0,1］，即1≤2^x≤2，

∴令u=2^x,g(x)=φ(u)=-(u-)²+.

當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1≤u≤2，φ(u)為減函數(shù)，

而u=2^x為增函數(shù)，

因此，g(x)在［0，1］上為減函數(shù).

（3）∵g(x)=-(2^x-)²+,x∈［0,1］為減函數(shù)，

∴當(dāng)x=0時(shí)，g(x)_max=0；

當(dāng)x=1時(shí),g(x)_min=-2.

故g(x)的值域?yàn)椋?2，0］.