Question

一般情況下，橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，會造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度小于40輛/千米時，車流速度為40千米/小時．研究表明：當40≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（Ⅰ）當0≤x≤200，求函數(shù)v（x）的表達式；
（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得當0≤x＜40時v（x）的解析式，設出當40≤x≤200時的一次函數(shù)解析式，代入點（40，40）與（200，0）求得一次函數(shù)解析式，最后分段寫出函數(shù)v（x）的表達式；
（Ⅱ）利用f（x）=x•v（x）求得函數(shù)f（x）的解析式，然后分段求出每一段內(nèi)的最值，求最值中的最大者得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意：當0≤x＜40時，v（x）=40；
當40≤x≤200時，設v（x）=kx+b，由已知得

200k+b=0 40k+b=40

，解得

k=- 1 4 b=50

，
故函數(shù)v（x）的表達式為：v(x)=

40  (0≤x＜40) - 1 4 x+50 (40≤x≤200)

；
（Ⅱ）由已知f（x）=x•v（x），且v(x)=

40  (0≤x＜40) - 1 4 x+50 (40≤x≤200)

，
可得f(x)=

40x  (0≤x＜40) - 1 4 x2+50x (40≤x≤200)

，
當0≤x≤40時，f（x）為增函數(shù)，故當x=40時，其最大值為40×40=1600．
當40≤x≤200時，f(x)=-

1

4

(x2-200x)=-

1

4

(x-100)2+

10000

4

，
∴當x=100時，f（x）在[40，200]上取得最大值2500．
綜上，當x=100時，f（x）在[0，200]上取得最大值2500，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大為2500輛/小時．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應用，考查了簡單的數(shù)學建模思想方法，訓練了分段函數(shù)解析式的求法，分段函數(shù)的最值得求法，分段函數(shù)的最值要分段求，是中檔題．