Question

【題目】已知橢圓離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形．點(diǎn)C是橢圓的下頂點(diǎn)，經(jīng)過橢圓中心O的一條直線與橢圓交于A，B兩個(gè)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），直線CA，CB分別與x軸交于點(diǎn)D，E．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）判斷的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值．證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓離心率，以及點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，求得的值，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算，證得，從而證得為定值.

（1）依題意可知.由于點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，所以，故，所以.

所以橢圓方程為．

（2）是定值．

設(shè)，

則直線CA的方程為．

將代入，解得，即．

同理，解得．

將代入上式，得．

所以，即證．