Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c為實(shí)常數(shù)且a＞0），曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=3x-3，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)且f′（x）存在零點(diǎn)，求a，b，c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明f（x）的極小值小于。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由題得，即，
此時(shí)，
；
由f（x）無(wú)極值點(diǎn)且f′（x）存在零點(diǎn)，
得，
解得，
于是，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
只要方程有兩個(gè)不等正根，
那么實(shí)數(shù)a應(yīng)滿(mǎn)足 ，解得，
設(shè)兩正根為，且，
可知當(dāng)時(shí)有極小值，
其中這里
由于對(duì)稱(chēng)軸為，所以，
且，得，
記，，
有對(duì)恒成立，
又，故對(duì)恒有，即，
所以有

而對(duì)于恒成立，
即在上單調(diào)遞增，
故。