Question

已知函數(shù)．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)對應的關(guān)系式f（-x）=-f（x），列出方程化簡后求出a的值；
（2）由函數(shù)的解析式求出導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的解析式和區(qū)間[3，+∞），判斷出f′（x）＞0，進而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，只要此最小值大于0即可．
解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
若f（x）為奇函數(shù)，則，
即，解得a=0．
（2）由f（x）=得，，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得，
故a的取值范圍為．
點評：本題是有關(guān)函數(shù)的綜合題，利用函數(shù)的奇偶性的關(guān)系式進行求值，利用函數(shù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最值，解決恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和邏輯思維能力．