Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）試探究數(shù)列{a_n-1}是否是等比數(shù)列；
（2）試證明

n

i=1

ai≥1+n；
（3）設(shè)b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），試探究數(shù)列{b_n}是否存在最大項和最小項．若存在求出最大項和最小項，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先根據(jù)（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0可以求出a_n-1為等比數(shù)列；
（2）由（1）求得的數(shù)列{a_n}通項公式求出

n

i=1

ai的表達(dá)式，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式及不等式的性質(zhì)即可證明

i=1

ai≥1+n；
（3）根據(jù)題意先求出b_n的通項公式，然后令 u=(

3

4

)n-1，討論b_n的單調(diào)性，分別討論n=1，2，3，4時u的值，即可求出b_n的最大項和最小項的值．

解答：解：（1）由（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0得
4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
化得：（a_n-1）（4a_n+1-4a_n+a_n-1）=0，
∴a_n-1=0或4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，（3分）
由已知a₁=2，∴a_n-1=0（舍去）．
∴4a_n+1-4a_n+a_n-1=0得4a_n+1=3a_n+1（4分）
從而有：a_n+1-1=

3

4

(an-1)（5分）
∴數(shù)列{a_n-1}是首項為a₁-1=1，公比為

3

4

的等比數(shù)列
∴a_n-1=(

3

4

)n-1，
∴數(shù)列{a_n}通項公式為a_n=(

3

4

)n-1+1．（6分）
（2）由（1）知

n

i=1

ai=1+

3

4

+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-1+n=4[1-(

3

4

)n]+n（8分）
∵對?n∈N^*，有 (

3

4

)n≤

3

4

，
∴1-(

3

4

)n≥1-

3

4

=

1

4

，
∴4[1-(

3

4

)n]+n≥1+n，
即

n

i=1

a1≥1+n（10分）
（3）由b_n=3f（a_n）-g（a_n+1）得b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）
∴bn=3[(

3

4

)n-1]2-4(

3

4

)n=3{[(

3

4

)n-1]2-(

3

4

)n-1}（11分）
令 u=(

3

4

)n-1，則0＜u≤1，
b_n=3（u²-u）=3[(u-

1

2

)2-

1

4

]
∵函數(shù) bn=3[(u-

1

2

)2-

1

4

]在 [

1

2

，1]上為增函數(shù)，在 (0，

1

2

)上為減函數(shù)（12分）
當(dāng)n=1時u=1，
當(dāng)n=2時 u=

3

4

，
當(dāng)n=3時，u=(

3

4

)2=

9

16

，
當(dāng)n=4時 u=

27

64

，
∵

27

64

＜

1

2

＜

9

16

＜

3

4

＜1，且 |

1

2

-

27

64

|＞|

1

2

-

9

16

|
∴當(dāng)n=3時，b_n有最小值，即數(shù)列{b_n} 有最小項，最小項為 b3=3[(

9

16

)2-

9

16

]=-

189

256

（13分）
當(dāng)n=1即u=1時，b_n有最大值，即有最大項，最大項為b₁=3（1-1）=0．（14分）

點評：本題考查了數(shù)列的推導(dǎo)以及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值和最小值，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列、函數(shù)的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．