Question

數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N．
（I）當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（I）的結(jié)論下，設b_n=log₃a_n+1，T_n是數(shù)列

1

bnbn+1

的前n項和，求T₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（I）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）可得a_n+1=3a_n，要使得當n≥1時，{a_n}是等比數(shù)列，則只需

a2

a1

=

2t

t

=3可求t
（II）由（I）可求b_n，結(jié)合數(shù)列的特點，考慮利用裂項相消可求數(shù)列的和

解答：解：（I）由題意可得，a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）
兩式相減可得，a_n+1-a_n=2a_n即a_n+1=3a_n
∴當n≥2時，{a_n}是等比數(shù)列
要使得當n≥1時，{a_n}是等比數(shù)列，則只需

a2

a1

=

2t

t

=3
∴t=1
（II）由（I）可得an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=n
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴T2012=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的定義的應用，數(shù)列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1（n≥2）的應用，數(shù)列的裂項相消法的應用．