Question

已知f(x)在(-1,1)上有定義，f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時(shí)有f(x)-f(y)=f(),對(duì)數(shù)列{x_n}滿足x₁=,x_n+1=.

（1）求f(0)的值，并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);

（2）探索f(x_n+1)與f(x_n)的關(guān)系式，并求f(x_n)的表達(dá)式;

（3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意的n∈N^*，++…+＞恒成立？若存在，求出m的最大值.

Answer 1

解:(1)令x=yf(0)=0,令x=0f(0)-f(y)=f()=f(y),∴f(-y)=-f(y).

∴f(x)在（-1，1）上為奇函數(shù).

（2）∵f(x_n+1)=f()=f［］=f(x_n)-f(-x_n)=2f(x_n),

∴=2(常數(shù)）.∴{f(x_n)}為等比數(shù)列.又f(x₁)=f()=1，q=2,∴f(x_n)=2^n-1.

（3）假使存在自然數(shù)m滿足題設(shè),則

+++……+=1++()²+……+()^n-1

=2-()^n-1＞對(duì)于任意的n∈N^*成立.∴m＜16對(duì)于任意的n∈N^*成立.

設(shè)g（x）=16，即求g（x）在n∈N^*時(shí)的最小值.

當(dāng)n=1時(shí)，g（x）的最小值為12,∴m＜12，即m的最大值為11.