Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，在、上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表格中：

（1）求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知定點(diǎn)，為拋物線上的一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，拋物線在點(diǎn)處的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，求面積.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】分析：（1）由兩個方程判斷出點(diǎn)和是橢圓上的點(diǎn)，和是拋物線上的點(diǎn)，代入可求解；

（2）求出P點(diǎn)坐標(biāo)，得出P點(diǎn)處的切線方程，把切線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后消去得的一元二次方程，由橢圓中的弦長公式求得弦長，再求出點(diǎn)C到直線AB的距離后可得面積．

詳解：（1）設(shè)橢圓：，因為點(diǎn)在橢圓上，則；

因為點(diǎn)在橢圓上，所以，解得：，所以橢圓：.

設(shè)拋物線：，因為點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則：.所以拋物線：.

（2）設(shè)，，

由題意設(shè)（），因為，，

故直線的方程為：，即，

由整理得：，則

，，

則 ，

則到直線的距離，

∴的面積，

∵，∴.