Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

3

，半焦距為c（c＞0），且a-c=1，經過橢圓的左焦點F₁斜率為k₁（k₁≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C、D兩點，直線CD的斜率為k₂，求

k1

k2

的值及直線CD所經過的定點坐標．

Answer 1

分析：（1）依題意，得

c a = 2 3 a-c=1

，解得a，c，即可求得b²，從而可得橢圓C的標準方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），可求得直線AR的方程為x=

x1-1

y1

y+1，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理可求得y₁y₃=-

4y12

5-x1

，
進一步可求C（

5x1-9

5-x1

，

4y1

x1-5

），D（5+

16

x2-5

，4k₁+

28k1

x2-5

），從而可得直線CD的方程為y=

7

4

k₁（x-

19

7

），繼而可得直線CD所經過的定點坐標．

解答：解：（1）依題意，得

c a = 2 3 a-c=1

，解得

a=3 c=2

，
在橢圓中，b²=a²-c²=3²-2²=5．
∴橢圓C的標準方程為：

x2

9

+

y2

5

=1（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），顯然y₁≠0，y₃≠0，
故直線AR的方程為x=

x1-1

y1

y+1，代入橢圓方程，消去x得：

5-x1

y12

y²+

x1-1

y1

y-4=0，由韋達定理得：y₁y₃=-

4y12

5-x1

，
∴y₃=-

4y1

5-x1

代入直線AR的方程得x₃=

5x1-9

5-x1

，
∴C（

5x1-9

5-x1

，

4y1

x1-5

），
∵y₁=k₁（x₁+2），則C（

5x1-9

5-x1

，

4k1x1+8k1

x1-5

）即（5+

16

x1-5

，4k₁+

28k1

x1-5

），同理得D（5+

16

x2-5

，4k₁+

28k1

x2-5

）
顯然C，D兩點坐標均滿足直線y=4k₁+

7

4

k₁（x-5）的方程，
所以直線CD的方程為y=

7

4

k₁（x-

19

7

），
∴

k1

k2

=

4

7

，且直線CD過定點（

19

7

，0）（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，著重考查直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立，考查韋達定理的應用，考查轉化思想與綜合運算能力，屬于難題．