Question

如圖，△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB=AC，AO=2OC=2．將三角形BAO沿AO折起，使B點(diǎn)與圖中B₁點(diǎn)重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）在線段B₁A上是否存在一點(diǎn)P，使CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得OA、OC、OB₁兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB₁為x、y、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，0，1），C（0，1，0）
設(shè)平面B₁OC的法向量為，可得
設(shè)平面AB₁C的法向量為=（x，y，z），
由，可得，∴可取
∴=
∴二面角A-B₁C-O的大小為arcsin；
（Ⅱ）存在，且P為線段AB₁的中點(diǎn)．證明如下：
設(shè)，則
∵平面B₁OA的法向量為=（0，1，0），CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為
∴=
∴20λ²-32λ+11=0
∴λ=或λ=（舍去）
∴P為線段AB₁的中點(diǎn)．
分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面B₁OC的法向量、平面AB₁C的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）存在，且P為線段AB₁的中點(diǎn)．確定平面B₁OA的法向量為=（0，1，0），的坐標(biāo)，根據(jù)CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為，利用向量的夾角公式，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角、線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，，求平面的法向量是關(guān)鍵，屬于中檔題．