Question

曲線y=x 

3

2

與y=

x

在[0，2]上所圍成的陰影圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（　　）

• A．2π
• B．3π
• C．

  7

  2

  π
• D．

  5

  2

  π

Answer 1

分析：求出曲線y=x 

3

2

與y=

x

交點(diǎn)的坐標(biāo)，由定積分的幾何意義得所求體積為V=π

∫

1 0

（x-x³）dx+π

∫

2 1

（x³-x）dx，再根據(jù)積分計(jì)算公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：∵曲線y=x 

3

2

與y=

x

交點(diǎn)為0（0，0）和A（1，1），
∴所求陰影圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為
V=π

∫

1 0

（x-x³）dx+π

∫

2 1

（x³-x）dx
=π（

1

2

x²-

1

4

x⁴）

|

1 0

+π（

1

4

x⁴-

1

2

x²）

|

2 1

=π（

1

2

×12-

1

4

×14）+π[（

1

4

×24-

1

2

×22）-（

1

4

×14-

1

2

×12）]
=

1

4

π+

9

4

π=

5π

2

．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題求曲線圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積，著重考查了定積分的幾何意義和積分計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．