Question

如圖：假設三角形數表中的第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）歸納出a_n+1與a_n的關系式并求出a_n的通項公式；
（2）設a_nb_n=1求證：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（1）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”則第二個數等于上一行第一個數與第二個數的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（2）由a_nb_n=1，解得 bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)再由裂項相消法證明．

解答：解：（1）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2…（2分）
所以：a₃-a₂=2a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n
累加得an-a2=2+3+…+(n-1)=

(n+1)(n-2)

2

…（4分）
所以an=

n2

2

-

n

2

+1（n＞2）
當n=2時a2=

1

2

×22-

1

2

×2+1=2，也滿足上述等式 …（5分）
故an=

n2

2

-

n

2

+1…（6分）
（2）因為a_nb_n=1，所以bn=

1

an

=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)…（5分）
所以b₂+b₃+…+bn＜2[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=2(1-

1

n

)＜2

點評：本題通過三角數表構造了一系列數列，考查了數列的通項及求和的方法，還考查了數列間的關系，入題較難，知識點，方法活，屬中檔題．