Question

已知△OAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形，CO⊥平面OAB，且CO=2，設(shè)D、E分別是OA、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：OB∥平面CDE；
（2）求點(diǎn)B到平面CDE的距離；
（3）求二面角O-CD-E的大小．

Answer 1

分析：（1）利用DE是△AOB的中位線，可知DE∥OB，根據(jù)線面平行的判定定理，從而可證OB∥平面CDE                              
（2）作OM⊥直線DE于M點(diǎn)，關(guān)鍵CO⊥平面OAB，由三垂線定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H
則OH⊥相交直線CM、ME，，根據(jù)線面垂直的判定理，可得OH⊥平面CDE，故OH為所求
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF垂直于OA，垂足為F，過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于CD，連接FG，則∠EGF為所求二面角的補(bǔ)角，從而可求二面角O-CD-E的大小π-arcsin

42

7

解答：（1）證明：∵DE是△AOB的中位線
∴DE∥OB
DE?平面CDE
OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE                                 
（2）作OM⊥直線DE于M點(diǎn)，
∵CO⊥平面OAB，由三垂線定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H
則OH⊥相交直線CM、ME，∴OH⊥平面CDE
   故OH為所求
易知，OM=

3

，∴CM=

7

∴OH=

OC•OM

CM

=

2 21

7

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF垂直于OA，垂足為F，過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于CD，連接FG，則∠EGF為所求二面角的補(bǔ)角
在三角形CDE中，利用等面積可得EG=

14

2

又EF=

3

∴sin∠EGF=

42

7

∴二面角O-CD-E的大小π-arcsin

42

7

點(diǎn)評(píng)：本題以線面垂直為載體，考查線面平行，考查點(diǎn)面距離，考查二面角的大小，綜合性較強(qiáng)．