Question

【題目】在平面直角坐標系中，過動點作直線的垂線，垂足為，且滿足，其中為坐標原點，動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過點作與軸不平行的直線，交曲線于，兩點，點，記，，分別為，，的斜率，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

解法一：（I）用x,y分別表示，結合，構造等式，即可。（II）設出直線l的方程，代入拋物線方程，設出M,N的坐標，結合根與系數(shù)關系，計算，即可。解法二：（I）設出P,Q坐標，結合，建立方程，即可。（II）設出直線l的方程，代入拋物線方程，設出M,N的坐標，結合根與系數(shù)關系，計算，即可。解法三（I）利用向量數(shù)量積關系，建立方程，計算結果，即可。（II）與解法一、二相同。

解法一：

（Ⅰ）設，則，

，，.

∵，

∴，

代入整理得，

曲線的方程為.

（Ⅱ）設直線的方程為，，

聯(lián)立，

整理得，

設，，

則，

∵，，

∴

，

∴為定值.

解法二：（Ⅰ）設，則，

∴，，

∵，

∴.

整理得，

曲線的方程為.

（Ⅱ）依題意得，直線的方程為，，

聯(lián)立，

整理得，

設，，

則，

∵，，

∴

，

∴為定值.

解法三：（Ⅰ）設，則，

∴，，

∵，

∴.

整理得，

曲線的方程為.

（Ⅱ）同解法一，解法二.