Question

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；
（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明

Answer 1

（Ⅰ）解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：
　
　　　
于是，
當(dāng)時，，在區(qū)間是減函數(shù)，
當(dāng)時，，在區(qū)間是增函數(shù)，
所以時取得最小值，，
（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明
(ⅰ)當(dāng)n=1時，由（Ⅰ）知命題成立
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立　
即若正數(shù)滿足，
則
當(dāng)n=k+1時，若正數(shù)滿足，
令
，，……，
則為正數(shù)，且，
由歸納假定知
　
　　　　　　　　　　　①
同理，由，可得

　　　②
綜合①、②兩式
　
　　　
　　　
　　　
即當(dāng)n=k+1時命題也成立
根據(jù)(ⅰ)、(ⅱ)可知對一切正整數(shù)n命題成立

略