Question

如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BDF；
（2）求三棱錐D-ACE的體積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=G，連接GF．由BF⊥面ACE，得到BF⊥CE，再由BE=BC，得到F為EC的中點(diǎn)．在矩形ABCD中，G為AC中點(diǎn)，由三角形的中位線可得到GF∥AE．再由線面平行的判定定理得證．
（2）如圖所示：轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)，以平面ADC為底，又因?yàn)镺E⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC．所以O(shè)E為底面上高，分別求得底面積和高，再用三棱錐的體積公式求解．

解答：證明：（1）設(shè)AC∩BD=G，連接GF．
因?yàn)锽F⊥面ACE，CE?面ACE，所以BF⊥CE．
因?yàn)锽E=BC，所以F為EC的中點(diǎn)．（3分）
在矩形ABCD中，G為AC中點(diǎn)，所以GF∥AE．（5分）
因?yàn)锳E?面BFD，GF?面BFD，所以AE∥面BFD．（7分）
（2）取AB中點(diǎn)O，連接OE．因?yàn)锳E=EB，所以O(shè)E⊥AB．
因?yàn)锳D⊥面ABE，OE?面ABE，所以O(shè)E⊥AD，
所以O(shè)E⊥面ABD．（9分）
因?yàn)锽F⊥面ACE，AE?面ACE，所以BF⊥AE．
因?yàn)镃B⊥面ABE，AE?面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．（11分）
又BE?面BCE，所以AE⊥EB．
所以AB=

AE2+BE2

=2

2

，OE=

1

2

AB=

2

．（12分）
故三棱錐E-ADC的體積為
VD-AEC=VE-ADC=

1

3

S△ADC•OE=

1

3

×

1

2

×2×2

2

×

2

=

4

3

．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查線線，線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查了線面平行，垂直的判定定理以及三棱錐體積的求法，屬中檔題．