Question

圖①是一個(gè)正方體的表面展開圖，MN和PQ是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中將MN，PQ畫出來，并就這個(gè)正方體解答下列各題：

         （1）求MN和PQ所成角的大��；

         （2）求四面體M—NPQ的體積與正方體的體積之比；

         （3）求二面角M—NQ—P的大小。

Answer 1

（Ⅰ）60°（Ⅱ）1：6（Ⅲ）60°

解析:

（1）如圖②，作出MN、PQ

         ∵PQ∥NC，又△MNC為正三角形

         ∴∠MNC＝60°

         ∴PQ與MN成角為60°

        

                                      

         即四面體M—NPQ的體積與正方體的體積之比為1：6

         （3）連結(jié)MA交PQ于O點(diǎn)，則MO⊥PQ

         又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，則MO⊥面PNQ

         過O作OE⊥NQ，連結(jié)ME，則ME⊥NQ

         ∴∠MEO為二面角M—NQ—P的平面角

         在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ

         設(shè)正方體的棱長為a

        

        

         ∴∠MEO＝60°

         即二面角M—NQ—P的大小為60°。