Question

已知橢圓的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點P在橢圓上，且△PF₁F₂的周長為6．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點P的坐標為（2，1），不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，點P到直線l的距離為d，且M，O，P三點共線．求的最大值．

Answer 1

解：（I）由題意得2c=2，2a+2c=6．
解得a=2，c=1，
又b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
當直線l與x軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，點M在x軸上，且與O點不重合，
顯然M，O，P三點不共線，不符合題設條件．
故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0）．
由消去y整理得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．①
則△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
∴，．
所以點M的坐標為．
∵M，O，P三點共線，
∴k_OM=k_OP，∴，
∵m≠0，∴．
此時方程①為3x²-3mx+m²-3=0，
則△=3（12-m²）＞0，得．
x₁+x₂=m，．
∴|AB|²=
=，
又=，
∴==，
故當時，的最大值為．
分析：（I）利用橢圓的定義和焦距的定義可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b²=a²-c²解出即可；
（II）設直線l的方程為y=kx+m（m≠0）．與橢圓的方程聯(lián)立，得到判別式△＞0及根與系數(shù)的關系，由中點坐標公式得到中點M的坐標，利用M，O，P三點共線，得到k_OM=k_OP，解得k，再利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到|AB|²及d²，利用二次函數(shù)的單調性即可得出最值
點評：熟練掌握橢圓的定義和焦距的定義及b²=a²-c²、直線與橢圓相交問題轉化為把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△＞0及根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、三點共線得到k_OM=k_OP、弦長公式和點到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調性是解題的關鍵．本題需要較強的計算能力．