Question

（本小題滿分13分）

如圖，已知拋物線，過點作拋物線的弦,．

   （Ⅰ）若,證明直線過定點，并求出定點的坐標；

  （Ⅱ）假設直線過點，請問是否存在以為底邊的等腰三角形? 若存在，求出的個數(shù)？如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）直線過定點.；（Ⅱ）滿足條件的等腰三角形有且只有一個．

【解析】（1）設出直線的方程，注意討論斜率是否存在，與拋物線聯(lián)立，利用，轉化為坐標運算，數(shù)量積為0，找到直線中兩個參數(shù)的關系，即找到直線過定點；（2）在（1）的條件下，

把用代換，求出中點的坐標，用表示，若存在以為底邊的等腰三角形，也就是，整理得關于的方程，解方程就得到滿足條件的三角形及其個數(shù).

（Ⅰ）設直線的方程為，點、的坐標分別為.

由消，得.

由，得,.

∵，∴，∴.

∴，

∴或.

∴ 或，∵恒成立. ∴.

∴直線的方程為  ，∴直線過定點. ………………………………（6分）

（Ⅱ）假設存在以為底邊的等腰三角形，由第（Ⅰ）問可知，將用代換得

直線的方程為.設點、的坐標分別為.

由消，得.

∴   .

∵的中點坐標為，即，

∵ ， ∴的中點坐標為.

由已知得，即． 

設，則，

在上是增函數(shù).

又，在內有一個零點.

函數(shù)在上有且只有一個零點，即方程在上有唯一實根．

所以滿足條件的等腰三角形有且只有一個．……………………………………………………… （13分）