Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁．
（2）求證：AC⊥BC₁；
（3）求直線B₁D與平面CBB₁C₁所成角的正玄值．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（3）先作出線面角，進(jìn)而求出即可．

解答：證明：（1）連接BC₁、CB₁，相較于點(diǎn)O，則BO=OC₁．
又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．∴OD∥AC₁．
∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）∵AC=3，AB=5，BC=4，
∴AB²=AC²+CB²，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥CB；
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥AC，
又∵CC₁∩CB=C，
∴AC⊥平面CBB₁C₁，
∴AC⊥BC₁．
（3）取CB的中點(diǎn)E，連接DE、EB₁．
則DE∥AC，DE=

1

2

AC=

3

2

．
∵AC⊥平面CBB₁C₁，
∴DE⊥平面CBB₁C₁，
∴∠DB₁E是直線DB₁與平面CBB₁C₁所成的角．
在Rt△BB₁E中，B₁E=

22+42

=2

5

．
∴DB1=

( 3 2 )2+(2 5 )2

=

89

2

．
∴sin∠DB₁E=

DE

DB1

=

3 89

89

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理和線面角的定義是解題的關(guān)鍵．