Question

設(shè)矩陣M對(duì)應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)3倍，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍的兩個(gè)伸壓變換的復(fù)合，求其逆矩陣M^-1以及
圓x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知條件，欲求出矩陣M^-1，可由已知直接寫出M^-1．設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)（x，y），變換后的坐標(biāo)（x′，y′），根據(jù)逆變換公式，知道之間的關(guān)系，代入，即可求出新曲線方程．
解答：解：∵矩陣M對(duì)應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)3倍，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍的兩個(gè)伸壓變換的復(fù)合，
∴逆矩陣M^-1是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到 倍，橫坐標(biāo)縮短到 倍的伸壓變換，
∴．（5分）
任意選取橢圓 x²+y²=1上的一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣
對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)镻'（x′，y′），則有=，故 ．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓  x²+y²=1上，所以4x^'2+9y^'2=1．
橢圓  x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為4x²+9y²=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查逆矩陣、逆變換及其計(jì)算能力，屬于綜合性的問(wèn)題，計(jì)算比較簡(jiǎn)單．