Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x|x﹣2|．若關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為（ ）
A.（0，2）
B.（﹣2，0）
C.（1，2）
D.（﹣2，﹣1）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設(shè)x＜0，則﹣x＞0，滿足表達(dá)式f（x）=x|x﹣2|． ∴f（﹣x）=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|，
又∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），
∴f（x）=﹣x|x+2|，
故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣x|x+2|．
則f（x）= ，
作出f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
由圖象知，當(dāng)t＞1時(shí)，t=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)t=1時(shí)，t=f（x）有四個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，t=f（x）有六兩個(gè)根，
當(dāng)t=0時(shí)，t=f（x）有三個(gè)根，
當(dāng)t＜0時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
則方程[f（x）]2+af（x）+b=0等價(jià)為t2+at+b=0，
若方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a∈R）恰好有1個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
等價(jià)為方程t2+at+b=0有兩不同的根，
且0＜t1＜1，t2=1，
則t1+t2=﹣a，
即1＜t1+t2＜2，
則1＜﹣a＜2，
即﹣2＜a＜﹣1，
則a的取值范圍為（﹣2，﹣1），
故選D．

【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．