Question

設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標伸長為原來的3倍的伸壓變換，則圓x²+y²=1在M的作用下的新曲線的方程是

x2

16

+

y2

9

=1

．

Answer 1

分析：由M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標伸長為原來的3倍的伸壓變換，M=

4 0 0 3

，任意選取圓x²+y²=1上的一點P（x₀，y₀），它在矩陣M=

4 0 0 3

對應的變換下變?yōu)镻′（x₀′，y₀′），能推導出x₀=

1

4

x0′，y₀=

1

3

y0′，由此能求出在M的作用下的新曲線的方程．

解答：解：∵設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標伸長為原來的3倍的伸壓變換，
∴M=

4 0 0 3

，
任意選取圓x²+y²=1上的一點P（x₀，y₀），它在矩陣M=

4 0 0 3

對應的變換下變?yōu)镻'（x₀′，y₀′），則有

4 0 0 3

x0   y0

=

x0′   y0′

，
∴4x₀=x0′，3y₀=y0′，即x₀=

1

4

x0′，y₀=

1

3

y0′，
又因為點P在圓 x²+y²=1上，所以

x0′2

16

+

y0′2

9

=1，
∴在M的作用下的新曲線的方程為

x2

16

+

y2

9

=1．
故答案為：

x2

16

+

y2

9

=1．

點評：此題主要考查矩陣變化以及新曲線方程的求法問題，屬于綜合性的問題，計算比較簡單，但在分析上有一定的難度，屬于中檔題．