Question

已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）是二次函數(shù)，其圖象與x軸交于A（1，0）、B（3，0），與y軸交于C（0，6）
（1）求y=f（x），（x∈R）的解析式；
（2）若方程f（x）-2a+2=0有四個不同的實數(shù)根，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意可設(shè)，當x≥0時，f（x）=a（x-1）（x-3）…1
由f（0）=6得：3a=6，
∴a=2，…2
此時f（x）=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6（x≥0）…3
當x＜0時，-x＞0，則f（-x）=2x²+8x+6…4
又∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=2x²+8x+6（x＜0）
∴…6
（2）依題意：f（x）=2a-2有四個不同實數(shù)根，
即y=f（x）與y=2a-2在同一坐標系中的圖象有四個不同的交點，

如圖可知只需滿足條件
-2＜2a-2＜6
∴0＜a＜4
即實數(shù)a的取值范圍是（0，4）…12
分析：（1）根據(jù)已知，可設(shè)出x≥0時，f（x）的交點式，結(jié)合與y軸交點坐標，可求出x≥0時函數(shù)的解析式，進而根據(jù)偶函數(shù)滿足f（-x）=f（x）求出當x＜0時函數(shù)的解析式，可得y=f（x），（x∈R）的解析式；
（2）若方程f（x）-2a+2=0有四個不同的實數(shù)根，即y=f（x）與y=2a-2在同一坐標系中的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的解析式的求法，根的存在性及根的個數(shù)判斷，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及二次函數(shù)解析式的求法，求出函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．