Question

給出下列四個(gè)命題：
①若a＞b＞0，則

1

a

＞

1

b

；
②若a＞b＞0，則a-

1

a

＞b-

1

b

；
③若a＞b＞0，則

2a+b

a+2b

＞

a

b

；
④若a＞0，b＞0且2a+b=1，則

2

a

+

1

b

的最小值為9；
其中正確命題的序號(hào)是

②④

（將你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：逐個(gè)加以判斷：利用不等式的兩邊同除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，得到①不正確；根據(jù)同向不等式相加的性質(zhì)，得到②正確；根據(jù)作差法討論符號(hào)來(lái)比較大小的方法，得到③不正確；根據(jù)“1”的代換結(jié)合基本不等式求最值，得到④正確．

解答：解：對(duì)于①，若a＞b＞0，兩邊都除以ab，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，若a＞b＞0，得

1

b

＞

1

a

＞0⇒-

1

a

＞-

1

b

結(jié)合a＞b，兩個(gè)不等式相加得a-

1

a

＞b-

1

b

，故②正確；
對(duì)于③，若a＞b＞0，則

2a+b

a+2b

-

a

b

=

b2-a2

b(a+2b)

＜0，
故

2a+b

a+2b

＜

a

b

，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，若a＞0，b＞0且2a+b=1，
則

2

a

+

1

b

=(2a+b)(

2

a

+

1

b

)=5+

2b

a

+

2a

b

≥5+2

2b a • 2a b

=9
得

2

a

+

1

b

的最小值為9，故④正確．
故答案為②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的基本性質(zhì)、基本不等式求最值和作差法比較大小等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．