Question

（文）已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，1）和B（16，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式（

1

a

）^2x+b^1-x-|m-1|≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，f（x）經(jīng)過點(diǎn)（1，4），（3，16），代入可求a，b
（2）由(

1

2

)2x+2^1-x≥|m-1|在x∈（-∞，1]上恒成立?[(

1

2

)2x+2^1-x]_min≥|m-1|恒成立，可求m的范圍

解答：解：（Ⅰ）∵f^-1（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，1）和B（16，3）．
∴f（x）經(jīng)過點(diǎn)（1，4），（3，16）
∴

ab=4 ba3=16

∴a=b=2，f（x）=2^x+1
∵（

1

a

）^2x+b^1-x-|m-1|≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，
∴不等式(

1

2

)2x+2^1-x≥|m-1|在x∈（-∞，1]上恒成立，
[(

1

2

)2x+2^1-x]_min≥|m-1|恒成立，…（8分）
設(shè)t=(

1

2

)x，g（t）=t²+2t
∵x≤1
∴t≥

1

2

∴g（t）_min=g（

1

2

）=

5

4

∴|m-1≤

5

4

∴-

1

4

≤m≤

9

4

值范圍是[-

1

4

，

9

4

]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了互為反函數(shù)的圖象對(duì)稱關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．